Kongruenzuntergruppe/Gamma1/Torsionselement/Aufgabe

Es sei ${}N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei ${}M\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ und sei ${}u,v$ eine reelle Basis von ${}{\mathbb {C} }$ mit dem zugehörigen Gitter ${}\Lambda$ und dem zugehörigen komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$. Es sei ${}u',v'$ die mit ${}M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${}{\frac {v}{N}}$ und ${}{\frac {v'}{N}}$ genau dann das gleiche ${}N$-Torsionselement von ${}{\mathbb {C} }/\Lambda$ definieren, wenn ${}M$ zur Kongruenzuntergruppe ${}\Gamma _{1}(N)$ gehört.

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