Wir möchten eine Reihe von Untergruppen der speziellen linearen Gruppe
SL
2
(
Z
)
{\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}}
N
{\displaystyle {}N}
Ringhomomorphismus
Z
→
Z
/
(
N
)
{\displaystyle {}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(N)}
Gruppenhomomorphismus
SL
2
(
Z
)
⟶
SL
2
(
Z
/
(
N
)
)
,
{\displaystyle \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(N)\right)},}
bei dem einfach sämtliche Einträge modulo
N
{\displaystyle {}N}
Es sei
N
∈
N
{\displaystyle {}N\in \mathbb {N} }
Untergruppe
Γ
(
N
)
=
{
M
=
(
a
b
c
d
)
∈
SL
2
(
Z
)
∣
M
=
E
2
mod
N
}
=
{
M
=
(
a
b
c
d
)
∈
SL
2
(
Z
)
∣
a
,
d
=
1
mod
N
,
b
,
c
=
0
mod
N
}
⊆
SL
2
(
Z
)
{\displaystyle \Gamma (N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid M=E_{2}\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a,d=1\mod N,\,b,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,}
heißt
Hauptkongruenzgruppe
zur Stufe
N
{\displaystyle {}N}
Es geht also einfach um die Matrizen, deren Diagonalelemente modulo
N
{\displaystyle {}N}
1
{\displaystyle {}1}
N
{\displaystyle {}N}
0
{\displaystyle {}0}
Normalteiler .
Da die Bildgruppe bei
N
≥
1
{\displaystyle {}N\geq 1}
Γ
(
N
)
{\displaystyle {}\Gamma (N)}
(
N
+
1
N
−
N
1
−
N
)
∈
Γ
(
N
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}N+1&N\\-N&1-N\end{pmatrix}}\in \Gamma (N)}
Wir interessieren uns nun für Untergruppen
Γ
(
N
)
⊆
Γ
⊆
SL
2
(
Z
)
,
{\displaystyle {}\Gamma (N)\subseteq \Gamma \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,,}
wovon es bei gegebenem
N
{\displaystyle {}N}
Kongruenzuntergruppen . Neben der Hauptkongruenzgruppe erwähnen wir die folgenden.
Es sei
N
∈
N
{\displaystyle {}N\in \mathbb {N} }
Untergruppe
Γ
0
(
N
)
=
{
M
=
(
a
b
c
d
)
∈
SL
2
(
Z
)
∣
c
=
0
mod
N
}
⊆
SL
2
(
Z
)
{\displaystyle {}\Gamma _{0}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,}
heißt
Hecke-Kongruenzgruppe
zur Stufe
N
{\displaystyle {}N}
Zu
N
∈
N
{\displaystyle {}N\in \mathbb {N} }
Γ
1
(
N
)
=
{
M
=
(
a
b
c
d
)
∈
Γ
0
(
N
)
∣
a
=
1
mod
N
}
=
{
M
=
(
a
b
c
d
)
∈
SL
2
(
Z
)
∣
a
=
d
=
1
mod
N
,
c
=
0
mod
N
}
⊆
SL
2
(
Z
)
.
{\displaystyle \Gamma _{1}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)\mid a=1\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a=d=1\mod N,\,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,.}
Es ist
Γ
(
N
)
⊆
Γ
1
(
N
)
⊆
Γ
0
(
N
)
.
{\displaystyle {}\Gamma (N)\subseteq \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{0}(N)\,.}
Bei
N
≥
2
{\displaystyle {}N\geq 2}
(
1
N
0
1
)
∈
Γ
(
N
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&N\\0&1\end{pmatrix}}\in \Gamma (N)}
T
=
(
1
1
0
1
)
∈
Γ
1
(
N
)
{\displaystyle {}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\in \Gamma _{1}(N)}
(
1
1
0
1
)
∉
Γ
(
N
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\notin \Gamma (N)}
(
−
1
0
0
−
1
)
∈
Γ
0
(
N
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}
(
−
1
0
0
−
1
)
∉
Γ
1
(
N
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\notin \Gamma _{1}(N)}
S
=
(
0
−
1
1
0
)
∉
Γ
1
(
N
)
{\displaystyle {}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\notin \Gamma _{1}(N)}
