Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Koordinaten der konstruierbaren Zahl $z$ liegen nach Fakt in einer Folge von reell-quadratischen Körpererweiterungen

$\mathbb{Q}\subset K_1\subset K_2\subset \dots \subset K_n.$

Diese Kette kann man um die komplex-quadratische Körpererweiterung  $K_n\subset K_n[\mathrm{i}]=L$  ergänzen mit  $z\in L$.  Nach der Gradformel ist der Grad von $L$ über $\mathbb{Q}$ gleich $2^{n+1}$. Dabei ist  $\mathbb{Q}(z)=\mathbb{Q}[z]\subseteq L$  ein Unterkörper und daher ist, wieder nach der Gradformel, der Grad von $\mathbb{Q}[z]$ über $\mathbb{Q}$ ein Teiler von $2^{n+1}$, also selbst eine Potenz von $2$.

Zur bewiesenen Aussage