Konstruierbarkeit/Nur Gerade Gerade, Gerade Kreis/Punkte/Aufgabe/Lösung

Wenn man, wie üblich, die durch die beiden Punkte ${}0$ und ${}1$ definierte Gerade mit ${}\mathbb {R}$ identifiziert, so ist die Menge ${}M$ der auf diese Weise konstruierbaren Punkte gleich ${}\mathbb {Z}$.

Die Inklusion ${}\mathbb {Z} \subseteq M$ ergibt sich so: da ${}0$ und ${}1$ zu ${}M$ gehören, ist die reelle Gerade konstruierbar. Damit ist der Kreis mit Mittelpunkt ${}1$ durch ${}0$ konstruierbar und der andere Schnittpunkt ist ${}2$. Mit ${}2$ als Mittelpunkt durch ${}1$ erhält man ${}3$ und so nach und nach alle natürlichen Zahlen. Die Kreise mit Mittelpunkt ${}0$ durch ${}n$ liefern auch die negativen Zahlen.

Die Inklusion ${}M\subseteq \mathbb {Z}$ beweisen wir durch Induktion über die Anzahl der Konstruktionsschritte. Der Induktionsanfang ist durch ${}\{0,1\}\subseteq \mathbb {Z}$ gesichert. Es sei vorausgesetzt, dass nach dem ${}k$-ten Konstruktionsschritt nur Elemente aus ${}\mathbb {Z}$ konstruiert wurden. Dann kann man daraus überhaupt nur eine Gerade konstruieren, nämlich die reelle Gerade. Daher können sich keine neuen Punkte über den Schnitt von zwei Geraden ergeben und es steht lediglich der Durchschnitt der reellen Geraden mit Kreisen als Konstruktionsverfahren zur Verfügung. Die elementar konstruierbaren Kreise besitzen als Mittelpunkt eine ganze Zahl und gehen ebenfalls durch eine ganze Zahl. Also ist der andere Schnittpunkt auch eine ganze Zahl, sodass man innerhalb von ${}\mathbb {Z}$ bleibt.

Zur gelösten Aufgabe