Konstruktion/Zirkel und Lineal/Kreis/R^2/Aufgabe/Lösung

Insbesondere gehören die Punkte ${}(1,0),\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1)$ zur Startmenge. Insbesondere lassen sich die ${}x$- und die ${}y$-Achse (als Geraden) konstruieren. Somit lässt sich auch ${}(0,0)$ konstruieren und damit auch ${}\mathbb {Q} ^{2}$. Zu jeder reellen Zahl ${}r\in [0,1]$ gehört der Punkt ${}(r,{\sqrt {1-r^{2}}})$ zum Einheitskreis. Die zur ${}y$-Achse parallele Gerade durch diesen Punkt ist konstruierbar und schneidet die ${}x$-Achse im Punkt ${}(r,0)$. Somit ist jeder Punkt des Einheitsintervalles konstruierbar. Da man jede reelle Zahl ${}x$ als

${}x=n+r\,$

mit ${}n\in \mathbb {Z}$ und ${}r\in [0,1]$ schreiben kann, und mit zwei Zahlen auch deren Summe konstruierbar ist, lassen sich überhaupt alle reellen Zahlen aus dem Einheitskreis konstruieren. Mit dem Zirkel lässt sich jede reelle Zahl auf die ${}y$-Achse umschlagen. Somit lässt sich wie im Beweis zu Fakt

überhaupt jeder Punkt konstruieren.

Zur gelösten Aufgabe