Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe/Lösung

a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ${}\mathbb {Z}$ ist ${}ab=ba$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei ${}(a,b)\sim (c,d)$, also ${}ad=bc$. Dann ist auch ${}cb=da$, was ${}(c,d)\sim (a,b)$

bedeutet. Zur Transitivität sei

$(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$

also

$ad=bc{\text{ und }}cf=de.$

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich

${}adf=bcf=bde\,.$

Da

${}d\neq 0$ ist, folgt daraus ${}af=be$, was ${}(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.

b) Es sei ${}(a,b)$ vorgegeben. Wegen ${}b\neq 0$ ist ${}b>0$ oder ${}b<0$. Bei ${}b>0$ sind wir fertig, da ${}(a,b)$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei ${}b<0$ betrachten wir ${}(-a,-b)$. Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen

${}a(-b)=-(ab)=b(-a)\,$

sind ${}(a,b)$ und ${}(-a,-b)$ äquivalent zueinander.

c) Es seien ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ vorgegeben und ${}\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})$. Das bedeutet

${}[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]$ bzw. ${}(z_{1},1)\sim (z_{2},1)$, also

${}z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.$

d) Wir setzen

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].$

Wegen ${}b,d\neq 0$ ist auch

${}bd\neq 0$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

$(a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),$

also

$ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.$

Wir behaupten

$(ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').$

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}$

Die Assoziativität folgt aus

${}{\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}$

Wegen

${}[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,$

(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist ${}(0,1)$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu ${}[(a,b)]$ das inverse Element durch ${}[(-a,b)]$ gegeben ist. Dies folgt aus

${}[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,$

wobei die letzte Gleichung sich aus ${}0\cdot 1=0\cdot b^{2}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.$

Zur gelösten Aufgabe