Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe

Betrachte auf $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\text{ falls }ad=bc\text{ ist}.$

a) Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a^{\prime },b^{\prime })$ mit  $b^{\prime }>0$  gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\phi :\mathbb{Z}⟶M,z⟼[(z,1)].$

Zeige, dass $\phi$ injektiv ist.

d) Definiere auf $M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung $\phi$ die Beziehung

$\phi (z_1+z_2)=\phi (z_1)+\phi (z_2)$

für alle  $z_1,z_2\in \mathbb{Z}$  gilt.

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