Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe/Lösung

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Die Relation ist trivialerweise reflexiv, da die Addition in kommutativ ist. Auch die Symmetrie ist direkt klar. Zur Transitivität sei

d.h.

Damit ist insgesamt

Hier können wir beidseitig abziehen und erhalten , was bedeutet.

Wir definieren nun die Addition durch

Wir müssen zeigen, dass diese Addition wohldefiniert ist. Sei dazu

und

Wir müssen zeigen, dass

ist. Dies folgt aber aus

Wenn die hintere Komponente beidesmal ist, so wird in der ersten Komponente einfach wie in addiert. Die Verknüpfung ist assoziativ, da die komponentenweise Addition auf der Produktmenge assoziativ ist und sich dies auf die Verknüpfung auf den Äquivalenzklassen überträgt. Daraus folgt auch sofort, dass das neutrale Element ist. Die Kommutativität der Verknüpfung ist ebenfalls klar. Zu einem Element ist

das inverse Element. Es ist ja

wobei die letzte Gleichung sich direkt aus der Definition der

Relation ergibt.