Konvergente Potenzreihe/C/Konstanter Term nicht 0/Einheit/Fakt/Beweis

Beweis

Gemäß dem Beweis zu Fakt ist die inverse formale Potenzreihe gleich

${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\,,$

wobei die Koeffizienten die rekursiven Bedingungen ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$ und

${}a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}=0\,$

bzw.

${}b_{n}={\frac {1}{a_{0}}}{\left(-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}\right)}\,$

erfüllen. Wir können ${}a_{0}=1$ annehmen, wodurch sich die letzte Gleichung vereinfacht. Wegen der Konvergenz von ${}F$ gibt es nach Aufgabe eine positive reelle Zahl ${}A$ mit ${}\vert {a_{n}}\vert \leq A^{n}$. Wir behaupten

${}\vert {b_{n}}\vert \leq {\frac {1}{2}}(2A)^{n}\,$

für ${}n\geq 1$, was wir durch Induktion beweisen. Bei ${}n=1$ ist direkt ${}\vert {b_{1}}\vert =\vert {-a_{1}}\vert \leq A$. Für ${}n\geq 1$ ist

${}{\begin{aligned}\vert {b_{n}}\vert &\leq \vert {-a_{1}b_{n-1}-\cdots -a_{n-1}b_{1}-a_{n}b_{0}}\vert \\&\leq \vert {a_{1}}\vert \vert {b_{n-1}}\vert +\cdots +\vert {a_{n-1}}\vert \vert {b_{1}}\vert +\vert {a_{n}}\vert \vert {b_{0}}\vert \\&\leq A^{1}{\frac {(2A)^{n-1}}{2}}+\cdots +A^{n-1}{\frac {(2A)^{1}}{2}}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2^{n-1}A^{n}+\cdots +2A^{n}\right)}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(2^{n}-2\right)}A^{n}+A^{n}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2^{n}\cdot A^{n}.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich die Konvergenz der invertierten Reihe.

Zur bewiesenen Aussage