Konvergente Potenzreihe/Umentwicklung/Durch Taylor-Reihe/Fakt

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$.

Dann erhält man die umentwickelte Reihe im Entwicklungspunkt ${}b$ als Taylor-Reihe von ${}f$ in ${}b$.

Insbesondere konvergiert die Taylor-Reihe in ${}b$ mit einem Konvergenzradius ${}\geq R-\vert {a-b}\vert >0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen