Kovariante Ableitung/Vektorfeld und Kurve/Hyperfläche/Bemerkung

Zu Definition und Definition gibt es die folgende Verallgemeinerung. Es sei ${}Y$ die differenzierbare Hyperfläche (oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang auf dem Tangentialbündel), sei ${}Z$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, sei ${}\varphi \colon Z\rightarrow Y$ eine differenzierbare Abbildung, sei

$F\colon Z\longrightarrow TY=\biguplus _{P\in Y}T_{P}Y$

ein differenzierbares tangentiales Vektorfelder längs ${}\varphi$ und ${}G$ ein Vektorfeld auf ${}Z$. Dann ist (zu ${}Q\in Z$ und ${}P=\varphi (Q)$) die kovariante Ableitung von ${}F$ bezüglich ${}G$ (längs ${}\varphi$) durch

${}(\nabla _{G}F)(Q)=\pi _{P}\left(DF\right)_{Q}(G(Q))\,$

definiert. ${}\nabla _{G}F$ ist wieder eine Abbildung ${}Z\rightarrow TY$. In der ersten Definition ist ${}Z=Y$ und ${}\varphi$ die Identität, in der zweiten Definition ist ${}Z=I$ ein Intervall, ${}\varphi =\gamma$ der Weg und ${}G=\partial$ das konstante Vektorfeld auf dem Intervall ${}I$ mit der Richtung ${}1$.