Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Längs einer Kurve/Kovariante Ableitung/Definition

Kovariante Ableitung

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow Y$

eine differenzierbare Kurve und sei

$F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld längs ${}I$, das tangential an ${}Y$ sei. Dann nennt man

${}(\nabla _{\gamma }F)(t):=\pi _{\gamma (t)}F'(t)\,,$

die kovariante Ableitung von ${}F$ längs ${}\gamma$.