Kreis/Eingeschriebenes n-Eck/Approximation/Aufgabe/Lösung

1. Die Seitenlänge des eingeschriebenen Quadrates ist nach dem Satz des Pythagoras gleich ${}{\sqrt {2}}$. Deshalb ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen Quadrates gleich

   ${}{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}=2\,$

   und der Umfang gleich ${}4{\sqrt {2}}$.

2. Das eingeschriebene regelmäßige Sechseck besteht aus ${}6$ gleichseitigen Dreiecken, da ja ihr Winkel im Kreismittelpunkt ${}60$ Grad beträgt, und somit ist ihre Seitenlänge gleich ${}1$. Die Höhe dieser Dreiecke ist nach dem Satz des Pythagoras gleich

   ${}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {3}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

   Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist

   ${}{\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\,,$

   somit ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen Sechsecks gleich

   ${}6\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}=3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

   Der Umfang des Sechsecks ist ${}6$.

3. Das regelmäßige eingeschriebene ${}n$-Eck besteht aus ${}n$ gleichen gleichschenkligen Dreiecken, deren Schenkel die Länge ${}1$ haben. Deren Grundseite sei mit ${}g_{n}$ und deren Höhe sei mit ${}h_{n}$ bezeichnet (deren Werte muss man für den Vergleich der Approximationen nicht ausrechnen). Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist ${}{\frac {1}{2}}g_{n}h_{n}$ und somit ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen ${}n$-Ecks gleich

   $n{\frac {1}{2}}g_{n}h_{n}.$

   Der Umfang des ${}n$-Ecks ist

   $ng_{n}.$

   Das Verhältnis des Flächeninhalts des ${}n$-Ecks zum Flächeninhalt des Kreises ist somit

   ${}{\frac {n{\frac {1}{2}}g_{n}h_{n}}{\pi }}=h_{n}{\frac {ng_{n}}{2\pi }}\,,$

   das Verhältnis des Umfangs des ${}n$-Ecks zum Umfang des Kreises ist

   ${\frac {ng_{n}}{2\pi }}.$

   Wegen ${}h_{n}<1$ ist die Umfangsapproximation besser als die Flächenapproximation.

Zur gelösten Aufgabe