Kreis/Eingeschriebenes n-Eck/Approximation/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Seitenlänge des eingeschriebenen Quadrates ist nach dem Satz des Pythagoras gleich . Deshalb ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen Quadrates gleich

    und der Umfang gleich .

  2. Das eingeschriebene regelmäßige Sechseck besteht aus gleichseitigen Dreiecken, da ja ihr Winkel im Kreismittelpunkt Grad beträgt, und somit ist ihre Seitenlänge gleich . Die Höhe dieser Dreiecke ist nach dem Satz des Pythagoras gleich

    Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke ist

    somit ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen Sechsecks gleich

    Der Umfang des Sechsecks ist .

  3. Das regelmäßige eingeschriebene -Eck besteht aus gleichen gleichschenkligen Dreiecken, deren Schenkel die Länge haben. Deren Grundseite sei mit und deren Höhe sei mit bezeichnet (deren Werte muss man für den Vergleich der Approximationen nicht ausrechnen). Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist und somit ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen -Ecks gleich

    Der Umfang des -Ecks ist

    Das Verhältnis des Flächeninhalts des -Ecks zum Flächeninhalt des Kreises ist somit

    das Verhältnis des Umfangs des -Ecks zum Umfang des Kreises ist

    Wegen ist die Umfangsapproximation besser als die Flächenapproximation.