Wir arbeiten mit der Beschreibung
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- Die Abbildung
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ist als Abbildung in den stetig differenzierbar und das Bild liegt auf . Daher ist sie auch als Abbildung nach stetig differenzierbar. Die Surjektivität wird in (2) mitbewiesen.
- Wir betrachten die Abbildung
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Diese ist als Einschränkung einer bijektiven linearen Abbildung des stetig differenzierbar und injektiv und landet
(aufgrund der expliziten Gleichungen)
in der Tat in . Sie ist auch surjektiv, da man direkt die Umkehrabbildung
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angeben kann. Da die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreisen surjektiv ist, folgt, dass auch die in (1) angegebene Abbildung surjektiv ist.