Kreis/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf die Überlagerung

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t),$

und den Aufpunkt ${}P=(1,0)\in S^{1}$ an. Die Faser über ${}P$ ist ${}\mathbb {Z}$. Wir nehmen ${}0$ als Referenzpunkt ${}0\in \mathbb {R}$ und betrachten die Abbildung

$C([0,1],S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto {\tilde {\gamma }}(1),$

die einem geschlossenen Weg ${}\gamma$ in ${}S^{1}$ mit Aufpunkt ${}P$ den Endpunkt der Wegliftung ${}{\tilde {\gamma }}$ zuordnet, die den Anfangspunkt ${}0$ besitzt. Diese Abbildung überführt zusammengesetzte Wege in die Summe, da die Liftungen zu verschiedenen Startpunkten durch Verschiebungen in ${}\mathbb {R}$ auseinander hervorgehen. Nach Fakt führt dies zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} .$

Dieser ist auch surjektiv, da man in ${}\mathbb {R}$ von ${}0$ aus jedes ${}n\in \mathbb {Z}$ durch einen stetigen (linearen) Weg erreichen kann und dieser die Liftung seines Bildweges ist.

Zur bewiesenen Aussage