Überlagerung/Einfach zusammenhängend/Nullhomotop und Endpunkt der Liftung/Fakt

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$, wobei ${}Y$ einfach zusammenhängend sei. Es sei ${}P\in X$ und sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg mit ${}\gamma (0)=\gamma (1)=P$ und sei ${}y\in Y$ ein Punkt oberhalb von ${}P$.

Dann ist ${}\gamma$ genau dann nullhomotop, wenn die nach Fakt eindeutige Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

mit dem Startpunkt ${}y$ auch den Endpunkt ${}y$ besitzt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen