Kreis/Funktion/Lineare Fortsetzung/Richtungsableitung/Aufgabe

Es sei  ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$  der Einheitskreis und

$g\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion mit  ${}g(-Q)=-g(Q)$,  gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.

1. Zeige, dass durch  ${}f(0)=0$  und

   ${}f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,$

   für  ${}P\neq 0$  eine Funktion auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert ist.

2. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn ${}g$ stetig ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges ${}g$ derart, dass ${}f$ im Nullpunkt stetig ist.
4. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
5. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
6. Es sei

   ${}g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,$

   Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt  ${}P\neq 0$  nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.

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