Es sei
der Einheitskreis und
-
eine Funktion mit
,
gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.
- Zeige, dass durch
und
-
![{\displaystyle {}f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638d689a4b15824527aa9f6967783aea94df17b6)
für
eine Funktion auf
definiert ist.
- Zeige, dass
genau dann
stetig
ist, wenn
stetig ist.
- Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges
derart, dass
im Nullpunkt stetig ist.
- Zeige, dass die Einschränkung von
auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
- Zeige, dass
im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
- Es sei
-
![{\displaystyle {}g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4e8c09d5d1c95b1afd9beaa48516867a9b9a4d)
Zeige, dass
in jedem Punkt
nur in eine Richtung
(bis auf Skalierung)
eine Richtungsableitung besitzt.