Kreis/Stetige Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis ${}S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen ${}\mathbb {R}$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Eine stetige Funktion auf ${}S\cup T$ ist durch eine stetige Funktion auf ${}S$ und durch eine davon unabhängige stetige Funktion auf ${}T$ gegeben. Wir betrachten im Anschluss an Beispiel eine lokal konstante Funktion, die auf ${}S$ den Wert ${}a$ und auf ${}T$ den Wert ${}b\neq a$ besitzt und eine nichttriviale Kohomologieklasse in ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},\mathbb {R} )=\mathbb {R}$ definiert, wobei ${}\mathbb {R}$ links die Garbe der lokal konstanten reellwertigen Funktionen bezeichnet. In der größeren Garbe ${}{\mathcal {G}}$ ist die entsprechende Kohomologieklasse aber trivial, da man auf ${}U_{1}$ eine stetige Funktion finden kann, die auf ${}S$ den Wert ${}-a$ und auf ${}T$ den Wert ${}-b$ besitzt und dazwischen (beispielsweise linear) interpoliert. Zusammen mit der Nullfunktion auf ${}U_{2}$ erhält man ein Urbild, der den Kozykel als Korand nachweist.