Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt
Die Person befindet sich in und möchte nach , wobei zur Person , die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von
Bestimme den minimalen Weg.
Die Person darf sich nicht innerhalb des Kreises mit Radius um den Nullpunkt bewegen. Der kürzeste Weg ergibt sich daher, wenn such zuerst auf einer Geraden, die tangential zu diesem Kreis ist, bewegt, in den Kreis einbiegt und diesen dann wieder tangential verlässt (alles ist symmetrisch zur -Achse). Sei der Punkt des Kreises, wo der Weg von in den Kreis einbiegt. Dann müssen und senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung
Wegen der Kreisbedingung
folgt
und
Der Winkel zu diesem Punkt ist durch
gegeben. Die Länge des Weges auf dem Kreisbogen ist daher
und der Weg auf der geraden Anfangsstrecke ist
Die zurückgelegte Gesamtstrecke ist daher
Die Person befindet sich in und möchte nach , wobei zur Person , die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von einzuhalten ist. Person ist bereit, sich zuerst auf zurückzuziehen (), um den Weg von etwas zu verkürzen, zum Schluss geht wieder auf ihre Ausgangsposition zurück.
Der Mittelpunkt des Kreises, den nicht betreten darf, ist
Person läuft zuerst einen linearen Weg, der tangential zu diesem Kreis ist, biegt dann in diesen Kreis ein und verlässt ihn wieder tangential (alles ist symmetrisch zur -Achse). Sei der Punkt des Kreises, wo der Weg von in den Kreis einbiegt. Dann müssen und senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung
Wegen der Radiusbedingung
ist dies gleich
Somit ist
Dies führt auf
bzw. auf
und somit auf die quadratische Gleichung
mit den Lösungen
wobei die Lösung
irrelevant ist, da sie den Nullvektor repräsentiert.
Variante
Person will von nach und Person will von nach . Dabei ist die Abstandsbedingung von einzuhalten, d.h. zu jedem Zeitpunkt muss der Abstand zwischen den beiden Personen zumindest betragen. Die Bewegungen sollen gleichzeitig stattfinden und die Bewegung von soll die um Grad gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Bewegung von sein. Beide Personen sind also gleichberechtigt. Wir interessieren uns für die Länge des Weges, die die beiden Personen zusammen zurücklegen.
Die runde Verbindung.
Wenn sie sich beide auf dem Kreis mit Radius und dem Ursprung als Mittelpunkt bewegen, so halten sie konstant den Abstand ein. Die Gesamtlänge des Weges beider Personen zusammen ist .
Die eckige Verbindung.
geht linear nach und von dort zum Ziel, läuft über . Die Halbbewegung von wird somit durch
beschrieben, die von durch
Der Abstandsvektor der beiden Punkte zum Zeitpunkt ist
mit dem Abstand . Dieser ist stets und bei genau gleich . Die insgesamt zurückgelegte Strecke ist
was kleiner als ist.
Die gierige Strategie
Beide Personen laufen direkt auf ihr jeweiliges Ziel zu, bis sie zueinander den Abstand haben, und gehen dann in eine Kreisbewegung über, bis sie diese auf ihrer Achse wieder verlassen.
Der innere Kreis ist dabei durch die Radiusbedingung
festgelegt, da ja die beiden um gedrehten Punkte den Abstand haben müssen. Also ist
Der Weg von besitzt somit die Länge
der Weg der beiden Personen ist somit ungefähr .
Optimale Strategie
Der innere Kreis von eben wird beibehalten, man nähert sich ihm aber tangential an.
Jetzt laufen beide auf einem Kreisbogen, und zwar mit dem Mittelpunkt
(für )
bzw.
()
und dem Radius, der durch die Anfangspunkte festgelegt ist.
Der Radius ist
die Bewegung von ist
Dabei bewegt sich zwischen
und .
Die Länge des zurückgelegten Weges von Person ist
Der Weg von ist
mit dem gleichen Zeitintervall für .
Abstandsbedingung.