Kreisring/Hauptideal/C oder R/Aufgabe

Wir betrachten den kommutativen Ring

$R=𝕂[X,Y]/(X^2+Y^2-1)$

und darin das Ideal

$𝔞=(X,Y-1),$

wobei $𝕂$ gleich $ℝ$ oder $ℂ$ sei.

1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.

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