Kreisring/Hauptideal/C oder R/Aufgabe/Lösung

1. Wir behaupten, dass

   $X+\mathrm{i}Y-\mathrm{i}$

   ein Idealerzeuger des Ideals $𝔞$ ist. Zunächst gehört

   $X+\mathrm{i}Y-\mathrm{i}=X+\mathrm{i}(Y-1)$

   zum Ideal. Wegen

   $1=X^2+Y^2=(X+\mathrm{i}Y)(X-\mathrm{i}Y)$

   sind $X+\mathrm{i}Y$ und $X-\mathrm{i}Y$ Einheiten. Es ist

   $\begin{array}{cc}(X+\mathrm{i}Y-\mathrm{i})(X+\mathrm{i}Y+\mathrm{i})& =X^2+2\mathrm{i}XY-Y^2+1\\ & =2X^2+2\mathrm{i}XY\\ & =2X(X+\mathrm{i}Y),\end{array}$

   daher gehört $X$ zu $(X+\mathrm{i}Y-\mathrm{i})$. Wegen

   $\begin{array}{cc}(X+\mathrm{i}Y-\mathrm{i})(X+\mathrm{i}Y-\mathrm{i})& =X^2-Y^2-1+2\mathrm{i}XY-2\mathrm{i}X+2Y\\ & =-2Y^2+2\mathrm{i}XY-2\mathrm{i}X+2Y\\ & =2\mathrm{i}(X+\mathrm{i}Y)(Y-1)\end{array}$

   gehört auch $Y-1$ dazu.

Zur gelösten Aufgabe