Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/0 auf w/Aufgabe/Lösung

Der Term ${}{\frac {1}{1-\vert {w}\vert ^{2}}}$ besitzt eine positive reelle Quadratwurzel ${}a$. Wir setzen ${}b=aw$ und sei ${}g$ die gebrochen-lineare Abbildung der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ zu diesem ${}a$ und ${}b$. Dabei gilt in der Tat

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=a^{2}-a^{2}\vert {w}\vert ^{2}=a^{2}{\left(1-\vert {w}\vert ^{2}\right)}=1\,$

und es gilt

${}g(0)={\frac {b}{a}}=w\,.$

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