Kreisscheibe/Holomorphe Automorphismen/Gebrochen-lineare Funktionen/2/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}<1\,$

für ${}\vert {z}\vert <1$ zu zeigen, was mit

${}\vert {z+c}\vert <\vert {1+{\overline {c}}z}\vert \,$

äquivalent ist. Mit Hilfe der komplexen Konjugation bedeutet dies

${}{\begin{aligned}{\left(z+c\right)}{\left({\overline {z+c}}\right)}&=z{\overline {z}}+z{\overline {c}}+c{\overline {z}}+c{\overline {c}}\\&<{\left(1+{\overline {c}}z\right)}{\overline {\left(1+{\overline {c}}z\right)}}\\&=1+{\overline {c}}z+c{\overline {z}}+c{\overline {c}}z{\overline {z}},\end{aligned}}$

was zu

${}z{\overline {z}}+c{\overline {c}}<1+c{\overline {c}}z{\overline {z}}\,$

bzw. zu

${}1+c{\overline {c}}z{\overline {z}}-z{\overline {z}}-c{\overline {c}}={\left(1-c{\overline {c}}\right)}{\left(1-z{\overline {z}}\right)}>0\,$

äquivalent ist. Wegen ${}\vert {c}\vert <1$

ist dies richtig.

Zur gelösten Aufgabe