Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

${}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}\right)}^{n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }k}={\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }}\right)}^{k}=1^{k}=1\,.$

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms ${}X^{n}-1$. Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }k/n}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\ell /n}\,$

mit ${}0\leq k\leq \ell \leq n-1$ sofort, durch Betrachten des Quotienten, ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }(\ell -k)/n}=1$ folgt, und daraus

${}\ell -k=0\,.$

Es gibt also ${}n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.

Zur bewiesenen Aussage