Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt

Die Funktionen

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \cos z,$

und

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \sin z,$

besitzen für ${}z,w\in \mathbb {C}$ folgende Eigenschaften.

1. Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

   ${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

2. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
3. Es ist ${}\cos {\left(-z\right)}=\cos z$ und ${}\sin {\left(-z\right)}=-\sin z$.
4. Es ist

   $\cos z={\frac {\exp {\left({\mathrm {i} }z\right)}+\exp {\left(-{\mathrm {i} }z\right)}}{2}}$

   und

   $\sin z={\frac {\exp {\left({\mathrm {i} }z\right)}-\exp {\left(-{\mathrm {i} }z\right)}}{2{\mathrm {i} }}}.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   $\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w.$

   und

   $\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w.$

6. Es gilt

   ${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen