Kreisteilungskörper/5/Basis/Matrizen/Aufgabe/Lösung

1. Für ${}i=0$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},$

   für ${}i=1$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&-1\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\end{pmatrix}},$

   für ${}i=2$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}0&0&-1&1\\0&0&-1&0\\1&0&-1&0\\0&1&-1&0\end{pmatrix}},$

   für ${}i=3$ ist die beschreibende Matrix gleich

   ${\begin{pmatrix}0&-1&1&0\\0&-1&0&1\\0&-1&0&0\\1&-1&0&0\end{pmatrix}}.$

2. Die Identität wird durch

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

   beschrieben. Der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{2}$ schickt ${}\zeta ^{2}$ auf

   ${}\zeta ^{4}=-1-\zeta -\zeta ^{2}-\zeta ^{3}\,$

   und ${}\zeta ^{3}$ auf

   ${}\zeta ^{6}=\zeta \,.$

   Die beschreibende Matrix ist also

   ${\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&0&-1&1\\0&1&-1&0\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.$

   Der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{3}$ schickt ${}\zeta ^{2}$ auf

   ${}\zeta ^{6}=\zeta \,$

   und ${}\zeta ^{3}$ auf

   ${}\zeta ^{9}=\zeta ^{4}=-1-\zeta -\zeta ^{2}-\zeta ^{3}\,.$

   Die beschreibende Matrix ist also

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&-1\\0&1&0&-1\end{pmatrix}}.$

   Der Automorphismus ${}\zeta \mapsto \zeta ^{4}$ schickt ${}\zeta ^{2}$ auf

   ${}\zeta ^{8}=\zeta ^{3}\,$

   und ${}\zeta ^{3}$ auf

   ${}\zeta ^{12}=\zeta ^{2}\,.$

   Die beschreibende Matrix ist also

   ${\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&-1&0&0\\0&-1&0&1\\0&-1&1&0\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe