Kreisteilungskörper/Alle primitiven Einheitswurzeln/Basis bei p/Nicht p^2/Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ (in ${}{\mathbb {C} }$) der ${}n$-te Kreisteilungskörper und sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente ${}\zeta ^{i}$, ${}i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl ${}n=p$ diese Elemente eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

b) Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}n=p^{2}$. Zeige, dass diese Elemente keine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}K_{n}$ bilden.

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