Kreisteilungskörper/Schnitt mit R/Quadratisch/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-Einheitswurzel, die ${}K_{n}$ erzeugt. Es ist ${}\zeta +{\overline {\zeta }}\in R_{n}$. Das Polynom

${}(X-\zeta )(X-{\overline {\zeta }})=X^{2}-(\zeta +{\overline {\zeta }})X+1\,$

besitzt ${}\zeta$ als Nullstelle und seine Koeffizienten gehören zu ${}R_{n}$. Daher ist

${}K_{n}=R_{n}[\zeta ]\,$

und ${}\zeta$ erfüllt eine quadratische Gleichung über ${}R_{n}$. Da bei ${}n\geq 3$

die Kreisteilungskörper nicht reell sind, liegt eine quadratische Körpererweiterung vor.

Zur gelösten Aufgabe