Kreisteilungspolynome/mod p/Produkt der Linearfaktoren zu Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei ${\Phi }_n$ das $n$-te Kreisteilungspolynom und es sei $p$ eine zu $n$ teilerfremde Primzahl. Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, in dem es eine $n$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt

$\prod _{0<i<n,i,n\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{d}}(X-{\zeta }^i)$

zu $\mathbb{Z}/(p)[X]$ gehört und mit ${\Phi }_{n}modp$ übereinstimmt.

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