Kubische Form/2 Variablen/Standarddarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}f\neq 0$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}3$ in ${}x$ und ${}y$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, einer Streckung und einer Variablenumbenennung ist

${}f=x(x+\alpha y)(x+\beta y)\,.$

Bei ${}\alpha =\beta =0$ sind wir im vierten Fall. Es sei also ${}\alpha \neq 0$, dann können wir auf

${}f=xy(x+\gamma y)\,$

transformieren. Bei ${}\gamma =0$ sind wir im dritten Fall. Es sei also ${}\gamma \neq 0$. Durch eine Diagonalmatrix kann man dies auf ${}xy(x+y)$ bzw. sodann auf ${}y(x+y)(x-y)$ transformieren, was dem zweiten Fall entspricht.

Zur bewiesenen Aussage