Kubische Form/2 Variablen/Standarddarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $f\ne 0$  ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in $x$ und $y$. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, einer Streckung und einer Variablenumbenennung ist

$f=x(x+\alpha y)(x+\beta y).$

Bei  $\alpha =\beta =0$  sind wir im vierten Fall. Es sei also  $\alpha \ne 0$,  dann können wir auf

$f=xy(x+\gamma y)$

transformieren. Bei  $\gamma =0$  sind wir im dritten Fall. Es sei also  $\gamma \ne 0$.  Durch eine Diagonalmatrix kann man dies auf $xy(x+y)$ bzw. sodann auf $y(x+y)(x-y)$ transformieren, was dem zweiten Fall entspricht.

Zur bewiesenen Aussage