Wir wenden
Fakt
auf das Polynom
an. Es ist demnach
und
und somit ist
-
![{\displaystyle {}u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d35f6a009b673810e7ff3036ad8511c76b0ed4e)
und
-
![{\displaystyle {}v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta ^{8}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355eca4a3d6dfa37db56bdf4a73eb9e6d6a34f4c)
wobei
hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel
ist. Dabei gilt
.
Somit sind
und
die
(allesamt reellen)
Lösungen der Gleichung.