Kubische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung

${}x^{3}+px+q=0\,$

und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{3}+pX+q\right)}$. Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis ${}1,x,x^{2}$. Die Matrix zu ${}x$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&0&-q\\1&0&-p\\0&1&0\end{pmatrix}}$, die Matrix zu ${}x^{2}$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&-q&0\\0&-p&-q\\1&0&-p\end{pmatrix}}$, die Matrix zu ${}x^{3}=-px-q$ ist ${}{\begin{pmatrix}-q&0&pq\\-p&-q&p^{2}\\0&-p&-q\end{pmatrix}}$, die Matrix zu ${}x^{4}=-px^{2}-qx$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&pq&q^{2}\\-q&p^{2}&2pq\\-p&-q&p^{2}\end{pmatrix}}$. Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}3&0&-2p\\0&-2p&-3q\\-2p&-3q&2p^{2}\end{pmatrix}},$

also gleich

${}3{\left(-4p^{3}-9q^{2}\right)}-2p(-4p^{2})=-4p^{3}-27q^{2}\,.$

Dies ist die Zahl ${}D$ aus Fakt.