Wir betrachten die kubische Gleichung
-
![{\displaystyle {}x^{3}+px+q=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db68e1cc222066f7a2492482f6e64958d28113a2)
und
(unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist)
die zugehörige
kubische Körpererweiterung
.
Wir bestimmen die
Diskriminante
dieser Erweiterung zur Basis
. Die Matrix zu
ist
, die Matrix zu
ist
, die Matrix zu
ist
, die Matrix zu
ist
. Die
Diskriminante
ist daher die Determinante der Matrix
-
also gleich
-
![{\displaystyle {}3{\left(-4p^{3}-9q^{2}\right)}-2p(-4p^{2})=-4p^{3}-27q^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f714235a26684191d7033d556628ddee50ec334c)
Dies ist die Zahl
aus
Fakt.