Kubische Ringerweiterung/Z/Faserringe/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

Der Faserring oberhalb von ${}(p)$ ist ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}$.

${}p=2$. In ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ ist ${}1$ eine Nullstelle des Polynoms und es ist

${}X^{3}+2X-1=X^{3}+1=(X+1)(X^{2}+X+1)\,.$

der hintere Faktor ist nullstellenfrei. Somit ist der Faserring isomorph zum Produktring ${}\mathbb {Z} /(2)\times {\mathbb {F} }_{4}$. Insbesondere ist der Faserring kein Körper, er ist reduziert und besitzt zwei Primideale.

${}p=3$. In ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$ besitzt ${}X^{3}+2X-1$ keine Nullstelle, daher ist das Polynom irreduzibel und der Faserring ist ein Körper.

${}p=5$. In ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ besitzt ${}X^{3}+2X-1$ keine Nullstelle, daher ist das Polynom irreduzibel und der Faserring ist ein Körper.

${}p=11$. In ${}\mathbb {Z} /(11)[X]$ besitzt ${}X^{3}+2X-1$ die Nullstelle ${}2$. Daher ist

${}X^{3}+2X-1=(X-2)(X^{2}+2X+6)\,.$

Der hintere Faktor ist nullstellenfrei, somit ist der Faserring isomorph zum Produktring ${}\mathbb {Z} /(11)\times {\mathbb {F} }_{121}$. Insbesondere ist der Faserring kein Körper, er ist reduziert und besitzt zwei Primideale.

Zur gelösten Aufgabe