Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die dritten Wurzeln ${}u$ und ${}v$ so gewählt werden können, dass ihr Produkt gleich ${}-{\frac {1}{3}}p$ ist. Für eine irgendwie gewählte Quadratwurzel ${}{\sqrt {-3D}}$ und irgendwie gewählte dritte Wurzeln ${}u$ und ${}v$ ist

${}{\begin{aligned}uv&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}-{\frac {1}{81}}(-3D)\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}{\left(q^{2}+{\frac {1}{27}}{\left(-4p^{3}-27q^{2}\right)}\right)}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {-4}{27}}p^{3}}}\\&={\sqrt[{3}]{-{\frac {1}{27}}p^{3}}}\\&=\eta {\left(-{\frac {p}{3}}\right)},\end{aligned}}$

wobei ${}\eta$ eine dritte Einheitswurzel ist. Ersetzt man nun ${}v$ durch ${}\eta ^{2}v$, so ist das Produkt gleich ${}-{\frac {p}{3}}$.

Wir berechen nun

$(x-u-v)(x-\epsilon u-\epsilon ^{2}v)(x-\epsilon ^{2}u-\epsilon v)$

und müssen zeigen, dass dies gleich ${}x^{3}+px+q$ ist. Die angegebenen Elemente sind offenbar die Nullstellen dieses faktorisierten Polynoms. Es ist

${}{\begin{aligned}(x-u-v)(x-\epsilon u-\epsilon ^{2}v)(x-\epsilon ^{2}u-\epsilon v)&=x^{3}-(u+v+\epsilon u+\epsilon ^{2}v+\epsilon ^{2}u+\epsilon v)x^{2}\\&\,\,\,\,+((u+v)(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)+(u+v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v)+(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v))x\\&\,\,\,\,-(u+v)(\epsilon u+\epsilon ^{2}v)(\epsilon ^{2}u+\epsilon v).\,\end{aligned}}$

Der quadratische Koeffizient ist (unter Verwendung von Fakt)

${}u{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}+v{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}=0\,.$

Der lineare Koeffizient ist

${}{\begin{aligned}(u+v){\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}+(u+v){\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}+{\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}{\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}&=u^{2}{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}+1\right)}+v^{2}{\left(\epsilon ^{2}+\epsilon +1\right)}+uv{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}+\epsilon ^{2}+\epsilon +\epsilon ^{2}+\epsilon ^{4}\right)}\\&=-{\frac {p}{3}}(-3)\\&=p.\,\end{aligned}}$

Der konstante Koeffizient ist

${}{\begin{aligned}-(u+v){\left(\epsilon u+\epsilon ^{2}v\right)}{\left(\epsilon ^{2}u+\epsilon v\right)}&=-u^{3}-u^{2}v{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}-uv^{2}{\left(1+\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}-v^{3}\\&=-u^{3}-v^{3}\\&=-{\frac {1}{2}}{\left(-q+{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(-q-{\frac {1}{9}}{\sqrt {-3D}}\right)}\\&=q.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage