Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die dritten Wurzeln und so gewählt werden können, dass ihr Produkt gleich ist. Für eine irgendwie gewählte Quadratwurzel und irgendwie gewählte dritte Wurzeln und ist

wobei eine dritte Einheitswurzel ist. Ersetzt man nun durch , so ist das Produkt gleich .

Wir berechen nun

und müssen zeigen, dass dies gleich ist. Die angegebenen Elemente sind offenbar die Nullstellen dieses faktorisierten Polynoms. Es ist

Der quadratische Koeffizient ist (unter Verwendung von Fakt)

Der lineare Koeffizient ist

Der konstante Koeffizient ist

Zur bewiesenen Aussage