Kubisches Polynom/Legendre/Einsetzungen/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}F(1-\lambda )&={\frac {((1-\lambda )^{2}-(1-\lambda )+1)^{3}}{(1-\lambda )^{2}((1-\lambda )-1)^{2}}}\\&={\frac {((1-\lambda )^{2}+\lambda )^{3}}{(\lambda -1)^{2}\lambda ^{2}}}\\&={\frac {(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{(\lambda -1)^{2}\lambda ^{2}}}\\&=F(\lambda ).\end{aligned}}$

2. Es ist (Erweiterung mit ${}\lambda ^{6}$)

   ${}{\begin{aligned}F({\frac {1}{\lambda }})&={\frac {(({\frac {1}{\lambda }})^{2}-({\frac {1}{\lambda }})+1)^{3}}{({\frac {1}{\lambda }})^{2}(({\frac {1}{\lambda }})-1)^{2}}}\\&={\frac {(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\\&=F(\lambda ).\end{aligned}}$

3. Aufgrund der ersten beiden Teile ist

   ${}F({\frac {1}{1-\lambda }})=F(1-\lambda )=F(\lambda )\,$

   und

   ${}F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F(1-{\frac {1}{\lambda }})=F({\frac {1}{\lambda }})=F(\lambda )\,$

   und schließlich

   ${}F({\frac {\lambda }{\lambda -1}})=F({\frac {\lambda -1}{\lambda }})=F(\lambda )\,.$

Zur gelösten Aufgabe