Kubisches Polynom/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=3x^{2}+2x-4\,.$

2. Es ist

   ${}f(2)=7\,$

   und

   ${}f'(2)=12\,.$

   Die Gleichung für die Tangente an diesem Punkt ist also

   ${}t(x)=12(x-2)+7=12x-17\,.$

3. Wir setzen

   ${}x^{3}+x^{2}-4x+3=12x-17\,$

   bzw.

   ${}x^{3}+x^{2}-16x+20=0\,.$

   Die Nullstelle ${}2$ und damit der Faktor ${}x-2$ ist bereits bekannt. Es ist (Division mit Rest)

   ${}x^{3}+x^{2}-16x+20=(x-2)(x^{2}+3x-10)=(x-2)(x-2)(x+5)\,.$

   Die beiden Schnittpunkte sind also ${}(2,7)$ und ${}(-5,-77)$.

4. Im relevanten Bereich verläuft ${}t$ unterhalb von ${}f$. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist daher gleich

   ${}{\begin{aligned}\int _{-5}^{2}f(x)-t(x)dx&=\int _{-5}^{2}x^{3}+x^{2}-16x+20dx\\&=\left({\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{3}-8x^{2}+20x\right)|_{-5}^{2}\\&={\frac {1}{4}}2^{4}+{\frac {1}{3}}2^{3}-8\cdot 2^{2}+20\cdot 2-{\left({\frac {1}{4}}(-5)^{4}+{\frac {1}{3}}(-5)^{3}-8(-5)^{2}+20(-5)\right)}\\&=4+{\frac {8}{3}}-32+40-{\frac {625}{4}}+{\frac {125}{3}}+200+100\\&=312+{\frac {133}{3}}-{\frac {625}{4}}\\&={\frac {3744+532-1875}{12}}\\&={\frac {2401}{12}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe