Es ist
-
![{\displaystyle {}(\alpha Y+\beta )^{3}-1=\alpha ^{3}Y^{3}+3\alpha ^{2}\beta Y^{2}+3\alpha \beta ^{2}Y+\beta ^{3}-1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00412d8aa240ee724cd09e6b9c050767112b81b1)
Damit bei
eine Nullstelle entsteht, muss
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![{\displaystyle {}\beta ^{3}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05a7d05d63b1459c3bcd5dffec841e42e40048e)
sein. Wir wählen
.
Damit bei
eine Nullstelle entsteht, muss
sein. Wegen
bedeutet dies
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![{\displaystyle {}\alpha ^{2}+3\alpha +3=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1681becb7fab12888f11bf431aabc2ee1948817)
Daraus folgt
(wir wählen eine Wurzel)
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![{\displaystyle {}\alpha ={\frac {-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9d8a8c96ca0b981068633bddeecb388a619371)
Die Substitution wird also durch
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![{\displaystyle {}X={\frac {-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}Y+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c22d0150e8fe9bddc6bacc8a13b8caeeea7ae95)
beschrieben. Das entstehende Polynom hat die Form
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![{\displaystyle {}\alpha ^{3}Y^{3}+3\alpha ^{2}Y^{2}+3\alpha Y=\alpha Y{\left(\alpha ^{2}Y^{2}+3\alpha Y+3\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9ec120fb3c4e90bbfc002190f316315cf55b2c)
der hintere Faktor ist ein Vielfaches von
, der andere Faktor muss dann
sein. Die dritte Nullstele ist also
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![{\displaystyle {}{\frac {3}{\alpha ^{2}}}={\frac {12}{(-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })^{2}}}={\frac {12}{6-6{\mathrm {i} }}}=1+1{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89526c28ac5f88fd3ceeeaa7345d1fd3759c35a2)