Kubisches Polynom/X^3-1/Lineare Transformation/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}(\alpha Y+\beta )^{3}-1=\alpha ^{3}Y^{3}+3\alpha ^{2}\beta Y^{2}+3\alpha \beta ^{2}Y+\beta ^{3}-1\,.$

Damit bei ${}Y=0$ eine Nullstelle entsteht, muss

${}\beta ^{3}=1\,$

sein. Wir wählen ${}\beta =1$. Damit bei ${}Y=1$ eine Nullstelle entsteht, muss ${}\alpha ^{3}+3\alpha ^{2}+3\alpha =0$ sein. Wegen ${}\alpha \neq 0$ bedeutet dies

${}\alpha ^{2}+3\alpha +3=0\,.$

Daraus folgt (wir wählen eine Wurzel)

${}\alpha ={\frac {-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,.$

Die Substitution wird also durch

${}X={\frac {-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}Y+1\,$

beschrieben. Das entstehende Polynom hat die Form

${}\alpha ^{3}Y^{3}+3\alpha ^{2}Y^{2}+3\alpha Y=\alpha Y{\left(\alpha ^{2}Y^{2}+3\alpha Y+3\right)}\,,$

der hintere Faktor ist ein Vielfaches von ${}Y-1$, der andere Faktor muss dann ${}\alpha ^{2}Y-3$ sein. Die dritte Nullstele ist also

${}{\frac {3}{\alpha ^{2}}}={\frac {12}{(-3+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })^{2}}}={\frac {12}{6-6{\mathrm {i} }}}=1+1{\mathrm {i} }\,.$

Zur gelösten Aufgabe