Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstelle/Polynomialer Ausdruck/Beispiel

Das Polynom ${}X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel nach Aufgabe und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Es gilt also

${}\alpha ^{3}-3\alpha +1=0\,.$

Wir behaupten, dass auch

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen der definierenden Gleichung sind und dass daher das Polynom bereits in ${}L$ zerfällt. Dies beruht unter Verwendung von

${}\alpha ^{3}=3\alpha -1\,$

auf den Rechnungen

${}{\begin{aligned}\beta ^{3}-3\beta +1&={\left(\alpha ^{2}-2\right)}^{3}-3{\left(\alpha ^{2}-2\right)}+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+12\alpha ^{2}-8-3\alpha ^{2}+6+1\\&=\alpha ^{6}-6\alpha ^{4}+9\alpha ^{2}-1\\&=9\alpha ^{2}-6\alpha +1-6\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+9\alpha ^{2}-1\\&=0\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\gamma ^{3}-3\gamma +1&=-{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}^{3}+3{\left(\alpha ^{2}+\alpha -2\right)}+1\\&=-\alpha ^{6}-3\alpha ^{5}+3\alpha ^{4}+11\alpha ^{3}-6\alpha ^{2}-12\alpha +8+3\alpha ^{2}+3\alpha -6+1\\&=-{\left(3\alpha -1\right)}^{2}-3\alpha ^{2}{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha {\left(3\alpha -1\right)}+11{\left(3\alpha -1\right)}-3\alpha ^{2}-9\alpha +3\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -9{\left(3\alpha -1\right)}+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=-9\alpha ^{2}+6\alpha -27\alpha +9+3\alpha ^{2}+9\alpha ^{2}-3\alpha +33\alpha -11-3\alpha ^{2}-9\alpha +2\\&=0.\end{aligned}}$