Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstellen/Kombinationen aus neunten Einheitswurzeln/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}\zeta ^{3}$ eine primitive dritte Einheitswurzel und daher ist

${}1+\zeta ^{3}+\zeta ^{6}=0\,.$

Uner Verwendung dieser Beobachtung ist

${}{\begin{aligned}{\left(\zeta +\zeta ^{8}\right)}^{3}-3{\left(\zeta +\zeta ^{8}\right)}+1&=\zeta ^{3}+3\zeta ^{2}\zeta ^{8}+3\zeta \zeta ^{16}+\zeta ^{24}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+3\zeta ^{10}+3\zeta ^{17}+\zeta ^{24}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+3\zeta +3\zeta ^{8}+\zeta ^{6}-3\zeta -3\zeta ^{8}+1\\&=\zeta ^{3}+\zeta ^{6}+1\\&=0.\end{aligned}}$

Da primitive Einheitswurzeln grundsätzlich gleichberechtigt sind und da es sich bei allen drei Elementen um die Summe einer primitiven neunten Einheitswurzel mit seinem Inversen handelt, gilt die entsprechende Gleichung auch für die beiden anderen Elemente.

Zur gelösten Aufgabe