Kubisches Polynom/x^3+x^2-x+1/Lokale Extrema/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist

    und

  2. Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Gleichung bzw. führt auf
    Wegen

    liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor und wegen

    liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor.

  3. Aufgrund der Berechnung aus Teil (2) wissen wir, dass für

    die Funktion positiv ist. Für

    ist die Funktion streng wachsend und somit gibt es dort genau eine Nullstelle (da ein Polynom vom Grad vorliegt oder wegen

    wissen wir, dass es negative Werte gibt).

  4. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es über eine Zerlegung des Polynoms in drei Linearfaktoren. Die reelle Nullstelle ist wegen dem dortigen strengen Wachstum keine mehrfache Nullstelle, somit muss es zumindest eine nichtreelle komplexe Nullstelle geben. Zu dieser ist auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle, also gibt es genau drei komplexe Nullstellen.
  5. Die Tangente am lokalen Maximum hat die konstante Funktionsbeschreibung

    da ja die Ableitung von an dieser Stelle ist.

  6. Es geht um die mit

    bzw. mit

    Da wir die Lösung schon kennen, können wir die Division mit Rest durchführen und erhalten

    Die Schnittpunkte sind also und .

  7. Im eingeschlossenen Gebiet verläuft der Funktionsgraph unterhalt der Tangente. Ihr Flächeninhalte berechnen wir, indem wir vom Inhalt des Rechteckes den Flächeninhalt unterhalb des Graphen abziehen. Wegen der lokalen Minimumsberechnung wissen wir, dass auf die Funktion positiv ist. Eine Stammfunktion zu ist

    Somit ist

    und damit ist der gesuchte Flächeninhalt gleich