Kubisches Polynom/x^3+x^2-x+1/Lokale Extrema/Tangente/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung
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- Es ist
und
- Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Gleichung
bzw.
führt auf
liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor und wegen
liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor.
- Aufgrund der Berechnung aus Teil (2) wissen wir, dass für
die Funktion positiv ist. Für
ist die Funktion streng wachsend und somit gibt es dort genau eine Nullstelle (da ein Polynom vom Grad vorliegt oder wegen
wissen wir, dass es negative Werte gibt).
- Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es über eine Zerlegung des Polynoms in drei Linearfaktoren. Die reelle Nullstelle ist wegen dem dortigen strengen Wachstum keine mehrfache Nullstelle, somit muss es zumindest eine nichtreelle komplexe Nullstelle geben. Zu dieser ist auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle, also gibt es genau drei komplexe Nullstellen.
- Die Tangente am lokalen Maximum hat die konstante Funktionsbeschreibung
da ja die Ableitung von an dieser Stelle ist.
- Es geht um die
mit
bzw. mit
Da wir die Lösung schon kennen, können wir die Division mit Rest durchführen und erhalten
Die Schnittpunkte sind also und .
- Im eingeschlossenen Gebiet verläuft der Funktionsgraph unterhalt der Tangente. Ihr Flächeninhalte berechnen wir, indem wir vom Inhalt des Rechteckes den Flächeninhalt unterhalb des Graphen abziehen. Wegen der lokalen Minimumsberechnung wissen wir, dass auf die Funktion positiv ist. Eine Stammfunktion zu ist
Somit ist
und damit ist der gesuchte Flächeninhalt gleich