Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen Abstand 1/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form $\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$. Dann würde über $L$ für $F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

$F=(X-(\alpha -1))(X-\alpha )(X-(\alpha +1))$

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor $X^2$, also das Negative von

$\alpha -1+\alpha +\alpha -1=3\alpha$

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon $\alpha$ eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von $F$.

Zur gelösten Aufgabe