Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Nullstellen Abstand 1/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, die Nullstellen hätten die Form ${}\alpha -1,\alpha ,\alpha +1$. Dann würde über ${}L$ für ${}F$, das wir als normiert annehmen dürfen, die Faktorzerlegung

${}F=(X-(\alpha -1))(X-\alpha )(X-(\alpha +1))\,$

vorliegen. Dann wäre insbesondere der Koeffizient vor ${}X^{2}$, also das Negative von

${}\alpha -1+\alpha +\alpha -1=3\alpha \,$

eine rationale Zahl. Doch dann ist schon ${}\alpha$ eine rationale Zahl und wir haben eine rationale Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung der Irreduzibilität von ${}F$.

Zur gelösten Aufgabe