Kugeloberfläche/Vektorfeld zu Breitenkreis/Kovariante Ableitung/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

2. Als Normalenfeld nehmen wir ${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$, in ${}P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ bilden ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes. Es ist

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Dabei ist ${}{\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ein Vielfaches zum Normalenvektor und daher ist seine orthogonale Projektion auf den Tangentialraum ebenfalls der Nullvektor. Die Abbildung ${}v\mapsto \nabla _{v}F$ ist also die Nullabbildung.

3. In ${}Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ bilden ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ eine Basis des Tangentialraumes. Es ist

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Beide Bildvektoren sind bereits tangential zu ${}Y$ in ${}Q$. Eine beschreibende Matrix zu ${}v\mapsto \nabla _{v}F$ ist

   ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe