Kugeloberfläche/Vektorfeld zu Breitenkreis/Kovariante Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten auf der zweidimensionalen Einheitssphäre ${}Y$ das tangentiale Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}F$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Bestimme für den Punkt ${}P={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

3. Bestimme für den Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\in Y$ eine Matrix für die Abbildung

   $T_{Q}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \nabla _{v}F,$

   bezüglich einer geeigneten Basis.

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