Kugeloberfläche/Viertelgroßkreis/Parallele Vektorfelder/Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis

$[0,\pi /2]⟶{ℝ}^3,t⟼(\cos t,\sin t,0),$

auf der Einheitskugeloberfläche $S$. Es ist  $\gamma (0)=(1,0,0)=P$  und  $\gamma (\pi /2)=(0,1,0)=Q$  mit den Tangentialräumen  $T_{P}S=ℝe_2+ℝe_3$  und  $T_{Q}S=ℝe_1+ℝe_3$.  Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist  $N(t)=-\gamma (t)$.  Die Matrix aus Bemerkung, die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist

$\left(\begin{array}{ccc}-\sin t\cos t& \cos t\cos t& 0\\ -\sin t\sin t& \sin t\cos t& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Die konstante Funktion

$F(t)=e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

ist eine Lösung. Ferner ist

$G(t)=\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\\ 0\end{array}\right)$

eine Lösung, es ist ja einerseits

$G^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}-\cos t\\ -\sin t\\ 0\end{array}\right)$

und andererseits

$-\left(\begin{array}{ccc}-\sin t\cos t& \cos t\cos t& 0\\ -\sin t\sin t& \sin t\cos t& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\\ 0\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}{\sin }^{2}t\cos t+{\cos }^{3}t\\ {\sin }^{3}t+\sin t{\cos }^{2}t\\ 0\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\\ 0\end{array}\right).$