Kugeloberfläche/Viertelgroßkreis/Parallele Vektorfelder/Beispiel

Wir betrachten den Viertelgroßkreis

$[0,\pi /2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,0\right),$

auf der Einheitskugeloberfläche ${}S$. Es ist ${}\gamma (0)=\left(1,\,0,\,0\right)=P$ und ${}\gamma (\pi /2)=\left(0,\,1,\,0\right)=Q$ mit den Tangentialräumen ${}T_{P}S=\mathbb {R} e_{2}+\mathbb {R} e_{3}$ und ${}T_{Q}S=\mathbb {R} e_{1}+\mathbb {R} e_{3}$. Der nach innen zeigende Einheitsnormalenvektor längs des Weges ist ${}N(t)=-\gamma (t)$. Die Matrix aus Bemerkung, die die Differentialgleichung für ein paralleles Vektorfeld beschreibt, ist

${\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Die konstante Funktion

${}F(t)=e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\,$

ist eine Lösung. Ferner ist

${}G(t)={\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}\,$

eine Lösung, es ist ja einerseits

${}G'(t)={\begin{pmatrix}-\cos t\\-\sin t\\0\end{pmatrix}}\,$

und andererseits

$-{\begin{pmatrix}-\sin t\cos t&\cos t\cos t&0\\-\sin t\sin t&\sin t\cos t&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\sin ^{2}t\cos t+\cos ^{3}t\\\sin ^{3}t+\sin t\cos ^{2}t\\0\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}\,.$