Kurs:Algebraische Kurven/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 10 }
\renewcommand{\azehn}{ 10 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {affine Raum} {.}
}{Der
\stichwort {Produktring} {}
zu kommutativen Ringen
\mathl{R_1 , \ldots , R_n}{.}
}{Ein \stichwortpraemath {K} {wertiger Punkt}{} zu einem kommutativen Monoid $M$.
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Die \stichwort {Einbettungsdimension} {} eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes $R$.
}{Die
\stichwort {Zariski-Topologie} {}
auf dem
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.}{Die geometrische Version des \stichwort {Hilbertschen Basissatzes} {.}}{Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3+Y^3
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene ebene algebraische Kurve.
\aufzaehlungvier{Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper
\mathl{\Z/(5)}{.}
}{Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper
\mathl{\Z/(7)}{.}
}{Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für den Körper
\mathl{\Z/(13)}{.}
}{Bestimme die Anzahl der Punkte dieser Kurve für einen endlichen Körper
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} mit der Eigenschaft, dass $q-1$ und $3$ teilerfremd sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in irreduzible Komponenten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[U,V]/(U^2-U,V^2-V, U-2UV+V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{,} $\Gamma$ seine \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \Gamma \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) } } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+3+6)}
{
\aufzaehlungdrei{Skizziere die Nullstellengebilde
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(XY,XZ,YZ)
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} {V(ST(S-T))
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im reellen Fall.
}{Stifte einen bijektiven Morphismus
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {.}
}{Zeige, dass der Morphismus $\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist
\zusatzklammer {die Charakteristik des Körpers sei $\neq 2$} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebra $R$ und eines multiplikativen Systems
\mathbed {S \subseteq R} {}
{0 \not\in S} {}
{} {} {} {,} an derart, dass die Nenneraufnahme $R_S$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus $R$ zum Einheitsideal in $R_S$ wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Lemma von Nakayama} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme den Durchschnitt
\mathdisp {V_+(X) \cap V_+(Y)} { }
in
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{.}
}
{} {}