Kurs:Algebraische Kurven/1/Klausur

Aus Wikiversity
Wechseln zu: Navigation, Suche


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 5 5 3 0 4 0 10 5 3 3 0 47



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der affine Raum.
  2. Der Produktring zu kommutativen Ringen .
  3. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .
  4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches .
  5. Die Einbettungsdimension eines lokalen kommutativen noetherschen Ringes .
  6. Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Noethersche Normalisierung für eine Kurve.
  2. Die geometrische Version des Hilbertschen Basissatzes.
  3. Der Satz über die Multiplizität für ein numerisches Monoid.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge in irreduzible Komponenten.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten den Restklassenring

über einem Körper der Charakteristik . Zeige in .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Nakayama.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten -Algebra und eines multiplikativen Systems , , an derart, dass die Nenneraufnahme kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus zum Einheitsideal in wird.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man beschreibe einen -Algebrahomomorphismus derart, dass die induzierte Spektrumsabbildung der -Spektren die Addition auf beschreibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.


Aufgabe (0 Punkte)