Kurs:Algebraische Kurven/10/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

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\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

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\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

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\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {homogene Zerlegung} {} zu einem Polynom
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}

}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} topologischer Raum $X$.

}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt in einer offenen Menge $U$ im $K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $R$. Es sei \maabb {f} {U} { {\mathbb A}^{1}_{K} = K } {} eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion \stichwort {algebraisch} {} ist?

}{Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid $M$.

}{Die \stichwort {Ordnung} {} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} $R$.

}{Das \stichwort {projektive Nullstellengebilde} {} zu einem homogenen Polynom
\mathl{F \in K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.}{Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.}{Potenreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

Es sei $C \subseteq \R^3$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} {\R} {\R^3 } {t} { \left( t , \, \cos t , \, \sin t \right) = \left( x , \, y , \, z \right) } {.} \aufzaehlungzwei {Erfüllt $C$ eine algebraische Gleichung? } {Ist $C$ eine algebraische Kurve? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (3+1+2)}
{

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} also die Menge der Matrizenpaare
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { { \left\{ (A,B) \mid A,B \in \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) , \, AB = BA \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) \times \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) }
{ \cong} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 8 } } }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {affine Varietät}{}{} ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben. }{Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\pi} {V} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {(A,B)} { A } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. }{Bestimme das Urbild von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{} unter $\pi$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { X^4+9X^3Y+7X^2Y^2+XY^3+8Y^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {X^3 +5X^2Y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
\mathl{Q,R \in \Q[X,Y]}{,}
\mathl{Q \neq 0}{,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} {GQ+R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung \maabbdisp {} {{\mathbb A}^{2}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {} derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V , \tilde{V} }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra, sei ${\mathfrak a} \subseteq R$ ein Ideal und sei $X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = \emptyset \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist das Einheitsideal}} { }
und die beiden Aussagen
\mathdisp {V( {\mathfrak a}) = X \text{ und } {\mathfrak a} \text{ ist nilpotent}} { }
zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob $K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines $K$-Spektrums.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige, dass durch \maabbeledisp {\varphi} {V(Z^2+W^2-1)} { V(X^2+Y^2-1) } {(Z,W)} { ( Z^2 - W^2 , 2ZW ) = (X,Y) } {.} ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt
\mathl{P \in V(X^2+Y^2-1)}{} aus zwei Punkten besteht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{

Wir betrachten das Nullstellengebilde
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(Y^2-X^4) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Ist $C$ irreduzibel? }{Kann man den Koordinatenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(Y^2-X^4)}{} als Monoidring erhalten? }{Kann man den Koordinatenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(Y^2-X^4)}{} als Monoidring zu einem Untermonoid
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erhalten? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} \zusatzklammer {mit ihrer \definitionsverweis {Multiplizität}{}{}} {} {} der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( X^2+5Y^2+3X^2Y-7XY^2+11X^9 \right) } }
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mathdisp {} { }
im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (2+1)}
{

\aufzaehlungzwei {Zeige, dass formales \definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{} auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und \definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{} bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind. } {Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte die affine ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( Y-X^3+X+2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und dem \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} $\bar{C} \subset {\mathbb P}^{2}_{K}$ fortsetzen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K} \times {\mathbb P}^{1}_{K}}{} und die \definitionsverweis {projektive Ebene}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{K}}{} nicht zueinander isomorph sind.

}
{} {}