Kurs:Algebraische Kurven/10/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 6 5 3 4 3 5 8 5 4 2 3 4 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die homogene Zerlegung zu einem Polynom .
  2. Ein zusammenhängender topologischer Raum .
  3. Sei ein Punkt in einer offenen Menge im -Spektrum von . Sei eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
  4. Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid .
  5. Die Ordnung zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring .
  6. Das projektive Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
  2. Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
  3. Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei das Bild der Abbildung

  1. Erfüllt eine algebraische Gleichung?
  2. Ist eine algebraische Kurve?


Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden -Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

  1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
  2. Zeige, dass die Abbildung

    surjektiv ist.

  3. Bestimme das Urbild von unter .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

und

Finde homogene Polynome , , mit


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen .


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Körper, eine endlich erzeugte -Algebra, sei ein Ideal und sei . In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

und die beiden Aussagen

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines -Spektrums.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass durch

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt aus zwei Punkten besteht.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten das Nullstellengebilde

  1. Ist irreduzibel?
  2. Kann man den Koordinatenring als Monoidring erhalten?
  3. Kann man den Koordinatenring als Monoidring zu einem Untermonoid erhalten?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve

im Nullpunkt.


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

  1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
  2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

Definiere einen Isomorphismus zwischen und der affinen Geraden . Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen und dem projektiven Abschluss fortsetzen?


Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass der Produktraum und die projektive Ebene nicht zueinander isomorph sind.