Kurs:Algebraische Kurven/11/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 0 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 0 }

\renewcommand{\aacht}{ 12 }

\renewcommand{\aneun}{ 0 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 50 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Radikal} {} zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {Kegelschnitt} {.}

}{Die \stichwort {Lokalisierung} {} eines kommutativen Ringes $R$ an einem \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$.

}{Die \stichwort {Normalisierung} {} zu einem kommutativen Monoid $M$.

}{Die \stichwort {Homogenisierung} {} zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Eine \stichwort {projektive} {} Varietät. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.}{Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.}{Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

\aufzaehlungdrei{Ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \left( e^t , \, e^t \right) } {,} eine \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{?} }{Ist das Bild der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {z} { \left( e^z , \, e^z \right) } {,} eine algebraische Kurve? }{Ist das Bild der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {z} { \left( e^z , \, e^z \right) } {,} \anfuehrung{isomorph}{} zu einer algebraischen Kurve? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{} und
\mathl{V(Y-2X^2+2)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{12 (3+5+3+1)}
{

Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{.} \aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.} Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist. }{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt. }{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind. }{Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Hauptidealring}{}{} ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Wir betrachten die beiden Kurven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V(Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ V(Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass der \definitionsverweis {affine Koordinatenring}{}{} von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich
\mathl{K[X]}{} ist. }{Bestimme die $K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{} des Restklassenringes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[X,Y]/(Y,Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt. }{Zeige, dass es \definitionsverweis {Einheiten}{}{} in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{\R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung }{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R^3 } {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z) } {.} Skizziere die Bilder von $C$ unter den \definitionsverweis {Projektionen}{}{} auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabb {} {M} {N } {} zwischen kommutativen \definitionsverweis {Monoiden}{}{} derart an, dass die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Ist die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Z^3Y+Z^4 \right) } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} isomorph zum \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} einer \definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} über einem kommutativen Ring $R$. Zu
\mathl{f \in A}{} bezeichne \maabbeledisp {\mu_f} {A} {A } {x} {fx } {,} die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen \maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {A} {A } {} bezeichne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [\varphi_1,\varphi_2] }
{ =} { \varphi_1 \circ \varphi_2-\varphi_2 \circ \varphi_1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei \maabb {\delta} {A} {A } {} eine $R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.} Zeige, dass zu jedem
\mathl{g \in A}{} die Abbildung
\mathl{[\delta, \mu_g ]}{} eine Multiplikationsabbildung ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Betrachte die affine Nullstellenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \defeq} {V { \left( X^2+Y^2+1 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit zwei Elementen. \aufzaehlungdrei{Bestimme die Punkte von $V$. }{Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} von $V$. }{Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur \definitionsverweis {Homogenisierung}{}{} von
\mathl{X^2+Y^2+1}{} übereinstimmt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

}
{} {}