Kurs:Algebraische Kurven/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\sum$
Punkte	3	3	4	3	4	4	9	4	6	3	3	2	3	3	2	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Radikal zu einem Ideal $𝔞\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$.
2. Ein Kegelschnitt.
3. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes $R$ an einem Primideal $𝔭$.
4. Die Normalisierung zu einem kommutativen Monoid $M$.
5. Die Homogenisierung zu einem Ideal  $𝔞\subseteq K[X_1,\dots ,X_n]$. 
6. Eine projektive Varietät.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
3. Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.

Aufgabe (4 Punkte)

Was versteht man unter einer expliziten und einer impliziten Beschreibung eines geometrischen Objektes, insbesondere einer algebraischen Kurve?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

1. Ist das Bild der Funktion

   $ℝ⟶{ℝ}^2,t⟼(e^t,e^t),$

   eine algebraische Kurve?

2. Ist das Bild der Funktion

   $ℂ⟶{ℂ}^2,z⟼(e^z,e^z),$

   eine algebraische Kurve?

3. Ist das Bild der Funktion

   $ℂ⟶{ℂ}^2,z⟼(e^z,e^z),$

   „isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von $V(X^2+Y^2-1)$ und $V(Y-2X^2+2)$ in ${𝔸}_{ℂ}^2$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge  $T\subseteq {𝔸}_K^n$. 

Aufgabe * (9 (2+4+2+1) Punkte)

Es seien $R_1,R_2,\dots ,R_n$ kommutative Ringe und sei

$R=R_1\times R_2\times \cdots \times R_n$

der Produktring.

1. Es seien

   $I_1\subseteq R_1,I_2\subseteq R_2,\dots ,I_n\subseteq R_n$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   $I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

   ein Ideal in $R$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal $I\subseteq R$ die Form

   $I=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

   mit Idealen  $I_j\subseteq R_j$  besitzt.

3. Es sei

   $I=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

   ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass $R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $𝔞$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass $𝔞$ genau dann ein Primideal ist, wenn $𝔞$ der Kern eines Ringhomomorphismus $\phi :R\to K$ in einen Körper $K$ ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Zeige

$R=\bigcap _{𝔪\text{ maximal }}{R}_{𝔪},$

wobei der Durchschnitt über alle maximalen Ideale läuft und in $Q(R)$ genommen wird.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Kurven  $C=V(Y)$  und  $D=V(Y-X^2)$  über einem Körper $K$.

a) Zeige, dass der affine Koordinatenring von $C$ und auch der von $D$ in natürlicher Weise gleich $K[X]$ ist.

b) Bestimme die $K$-Dimension des Restklassenringes  $R=K[X,Y]/(Y,Y-X^2)$, 

der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt.

c) Zeige, dass es Einheiten in $R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinatenringen herrühren.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $C\subseteq {ℝ}^3$  das Bild der Abbildung

$ℝ⟶{ℝ}^3,t⟼(t,t^2,t^3)=(x,y,z).$

Skizziere die Bilder von $C$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven Monoidhomomorphismus $M\to N$ zwischen kommutativen Monoiden derart an, dass die zugehörige Spektrumsabbildung nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$. Zu  $f\in A$  bezeichne

${\mu }_f:A⟶A,x⟼fx,$

die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen

${\phi }_1,{\phi }_2:A⟶A$

bezeichne

$[{\phi }_1,{\phi }_2]={\phi }_1\circ {\phi }_2-{\phi }_2\circ {\phi }_1.$

Es sei $\delta :A\to A$ eine $R$-Derivation. Zeige, dass zu jedem  $g\in A$  die Abbildung $[\delta ,{\mu }_g]$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$G=S+3S^2-2S^3=S+S^2(3-2S)=S+S^{2}H\in ℂ[[S]]$

eine formale Potenzreihe mit  $H=3-2S$.  Berechne $F_1$ und $F_2$ in der Rekursion  $F_{n+1}=T-F_n^2\cdot H(F_n)$  mit  $F_0=T$. 

Aufgabe * (2 Punkte)

Ist die ebene projektive Kurve  $V_{+}(X^4+Z^{3}Y+Z^4)\subset {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$  isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Betrachte die affine Nullstellenmenge

$V:=V(X^2+Y^2+1)\subseteq {𝔸}_K^2$

über dem Körper  $K=\mathbb{Z}/(2)$  mit zwei Elementen.

a) Bestimme die Punkte von $V$.

b) Bestimme den projektiven Abschluss von $V$.

c) Zeige, dass der projektive Abschluss von $V$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von $X^2+Y^2+1$ übereinstimmt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.