Kurs:Algebraische Kurven/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 0 3 4 4 0 12 0 3 2 2 3 3 5 47



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Radikal zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Kegelschnitt.
  3. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .
  4. Die Normalisierung zu einem kommutativen Monoid .
  5. Die Homogenisierung zu einem Ideal .
  6. Eine projektive Varietät.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
  2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
  3. Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

  1. Ist das Bild der Funktion

    eine algebraische Kurve?

  2. Ist das Bild der Funktion

    eine algebraische Kurve?

  3. Ist das Bild der Funktion

    „isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte von und in .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (12 (3+5+3+1) Punkte)

Es seien kommutative Ringe und sei

der Produktring.

  1. Es seien

    Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

    ein Ideal in ist.

  2. Zeige, dass jedes Ideal die Form

    mit Idealen besitzt.

  3. Sei

    ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.

  4. Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei das Bild der Abbildung

Skizziere die Bilder von unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden derart an, dass die zugehörige Spektrumsabbildung nicht surjektiv ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Ist die ebene projektive Kurve isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine kommutative -Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne

die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen

bezeichne

Es sei eine -Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Betrachte die affine Nullstellenmenge

über dem Körper mit zwei Elementen.

  1. Bestimme die Punkte von .
  2. Bestimme den projektiven Abschluss von .
  3. Zeige, dass der projektive Abschluss von nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von übereinstimmt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.